利用运放控制复平面上极点和零位的位置,并利用电路的自然响应来说明极点/零位的效果。据/P.>据/div>
在之前的博客[1]中,我写道:据一世>在我的学术职业生涯中,我观察到教授最困难的科目之一以及学习是系统理论。所有这些杆子和零都可以在课堂上进行意义,但一旦学生试图将它们联系到实验室的物理电路,似乎就有黑板和替补席之间的鸿沟。据/一世>在目前的博客中,我将尝试使用运算放大器对杆和零进行物理感受,以控制它们在复杂平面中的位置,并使用电路的自然响应来说明极/零位置的效果。据/P.>据P.>据B.>单端口的自然反应据/B.>据B.r>考虑被动线性的单端口据B.>图1据/B.>包括电阻器,电容器和电感器。据/P.>据div align="center">
图1据/B.>(据一世>一种据/一世>)无源单端口,和(据一世>B.据/一世>)天然(或无源)开路响应据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>(据一世>T.据/一世>).据/div>
如果我们应用测试电流据一世>一世据/一世>(据一世>S.据/一世>),单端口将产生电压据一世>V.。据/一世>(据一世>S.据/一世>),这样据一世>V.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)=据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)据一世>一世据/一世>(据一世>S.据/一世>), 在哪里据一世>一世据/一世>(据一世>S.据/一世>),据一世>V.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)为施加电流和产生电压的拉普拉斯变换,和据一世>S.据/一世>复频率是SEC吗据S.up>- 1据/S.up>.大自然是这样的阻抗据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)采取一个形式据一世>有理函数据/一世>的据一世>S.据/一世>,也就是说,a的比例据一世>分子据/一世>多项式据一世>N据/一世>(据一世>S.据/一世>)和A.据一世>分母据/一世>多项式据一世>D.。据/一世>(据一世>S.据/一世>),据/P.>据div class="ad-text">
有一个零点据一世>S.据/一世>=0处的复共轭极对据一世>S.据/一世>=-3±据一世>j据/一世>4.在其根部表达它,据/P.>据div align="center">
这据一世>零据/一世>和据一世>极据/一世>如果我们画出|Z(据一世>S.据/一世>)|相对据一世>S.据/一世>,所得到的曲线出现在一个帐篷上据一世>S.据/一世>它在零点处与s平面接触,它的高度在极点处变为无限大。据/P.>据P.>据/P.>据div align="center">
图2据/B.>幅度图据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>) = (10 Ω)据一世>S.据/一世>/(据一世>S.据/一世>据S.up>2据/S.up>+ 6据一世>S.据/一世>+25)。(通过计算|得到的剖面据一世>Z.。据/一世>虚轴上的|表示据一世>交流反应据/一世>一个端口。)据/div>
为杆子发育身体感受[2],请注意,如果我们应用当前据一世>一世据/一世>(据一世>S.据/一世>) 和据一世>S.据/一世>接近极点据一世>P.据S.ub>K.据/S.ub>,我们可以实现给定的电压据一世>V.。据/一世>(S.)带有相当小的据一世>一世据/一世>(据一世>S.据/一世>).越接近据一世>S.据/一世>是据一世>P.据S.ub>K.据/S.ub>,小小的据一世>一世据/一世>(据一世>S.据/一世>)对于给定的据一世>V.。据/一世>(s)。在极限据一世>S.据/一世>→据一世>P.据S.ub>K.据/S.ub>单端口将提供一个非零电压,即使是零施加电流,或开路(见据B.>图1据一世>B.据/一世>据/B.>)!该电压称为据一世>自然据/一世>或者据一世>来源免费据/一世>响应,因为一个端口产生它利用其内部存储在电容器和电感的能量。这些能量在电阻中消散,在无源单端口的情况下,它们随时间呈指数衰减。事实上,系统论预测自然反应的表达式如下:据/P.>据div align="center"> (2)据/div>
在哪里据一世>一种据/一世>据S.ub>1据/S.ub>那据一世>一种据/一世>据S.ub>2,据/S.ub>,...是合适的系数(伏特),其依赖于存储的能量和磁极据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)是在指数中出现的时间常数的逆。据/P.>据P.>Z.eros呢?据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)?现在指据B.>图3据/B.>,代表了双重情况据B.>图1据/B.>.施加的信号现在是一个电压据一世>V.。据/一世>(据一世>S.据/一世>),响应是电流据一世>一世据/一世>(据一世>S.据/一世>)= [1 /据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)据一世>V.。据/一世>(据一世>S.据/一世>),表明零的零据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)现在是1的极点/据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>).通过双重推理,在极限据一世>S.据/一世>→据一世>Z.。据S.ub>K.据/S.ub>一个端口将提供一个非零的电流,即使是零施加电压,或短路(见据B.>图3据一世>B.据/一世>据/B.>)!这个电流被称为据一世>自然据/一世>或者据一世>来源免费据/一世>响应,因为一个端口产生它利用其内部存储在电容器和电感的能量。系统理论预测了自然短路电流响应的表达式如下据/P.>据div align="center"> (3)据/div>
在哪里据一世>B.据/一世>据S.ub>1据/S.ub>那据一世>B.据/一世>据S.ub>2据/S.ub>,…是合适的系数(以安培为单位),它依赖于存储的能量和零点据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)是在指数中出现的时间常数的逆。据/P.>据div align="center">
图3据/B.>(据一世>一种据/一世>)无源单端口,和(据一世>B.据/一世>)的自然(或无源)短路响应据一世>一世据S.ub>N据/S.ub>(据一世>T.据/一世>).据/div>
综上所述,单端口的自然响应是由其阻抗的根决定的据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>):极点决定开路电压响应据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>(据一世>T.据/一世>),零点控制短路电流响应据一世>一世据S.ub>N据/S.ub>(据一世>T.据/一世>).在某种程度上,根部就像一个端口的DNA。据/B.>例如,考虑的单端口据B.>图4据/B.>.如果在据一世>T.据/一世>=0电容器上的电压为9 V,顶部呈正,其自然反应是什么据一世>T.据/一世>据u>>据/u>0 ?通过检测,单端口呈现的阻抗为据/P.>据div align="center">
显然,我们有据一世>Z.。据/一世>据S.ub>1据/S.ub>= 1 / (据一世>R.。据/一世>据S.ub>1据/S.ub>C据/一世>)=-1 /(10毫秒据一世>P.据/一世>据S.ub>1据/S.ub>= 1 / ((据一世>R.。据/一世>据S.ub>1据/S.ub>+据一世>R.。据/一世>据S.ub>2据/S.ub>)据一世>C据/一世>=-1 /(30毫秒)。此外,我们有据一世>一种据/一世>据S.ub>1据/S.ub>= [20 /(10 + 20)] 9 = 6 V和据一世>B.据/一世>据S.ub>1据/S.ub>= 9/10 = 0.9 mA。最后,据/P.>据div align="center">
单极控制据/B.>据B.r>在电路中据B.>图5据一世>一种据/一世>据/B.>节点之间的阻抗表示为据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>和地面是据一世>Z.。据/一世>(据一世>S.据/一世>)=据一世>R.。据/一世>| | (1 /据一世>S.C据/一世>)=据一世>R.。据/一世>/(1 +据一世>SRC.据/一世>),所以电路有一个极点在据一世>S.据/一世>=1/(据一世>钢筋混凝土据/一世>)= -1 /(1 ms)。假设据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>(0) = 1 V,则有:据/P.>据div align="center">
(4)据/div>
无论我们如何选择值据一世>R.。据/一世>和据一世>C据/一世>,这条电路的极点将永远是据一世>负据/一世>.我们希望找到控制它以便推动它的方法据一世>零据/一世>或者使它甚至据一世>积极的据/一世>.据B.>图5据一世>B.据/一世>据/B.>显示了一个可以完成这项工作的电路。非反相放大器传感据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>输出电压(1 +据一世>R.。据/一世>据S.ub>2据/S.ub>/据一世>R.。据/一世>据S.ub>1据/S.ub>)据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>=(1 +据一世>K.据/一世>)据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>那据/P.>据div align="center">
图5据/B.>(据一世>一种据/一世>)基本电路,及(据一世>B.据/一世>)相同的电路,但具有控制杆的规定。据/div>
在哪里据一世>R.。据/一世>据S.ub>2据/S.ub>表示电位器左端与雨刷之间的部分。在给定的组件值下,从左端到右端改变雨刷将导致据一世>K.据/一世>在0范围内各不相同据u>据据/u>K.据/一世>据u>据据/u>2.现在,电压据一世>R.。据/一世>据S.ub>3.据/S.ub>是(1 +据一世>K.据/一世>)据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>-据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>,或据一世>K.V.。据S.ub>N据/S.ub>,右边为正数,表示据一世>R.。据/一世>据S.ub>3.据/S.ub>将据一世>源据/一世>来据一世>C据/一世>当前的据一世>K.V.。据S.ub>N据/S.ub>/据一世>R.。据/一世>据S.ub>3.据/S.ub>.考虑到据一世>R.。据/一世>据一世>汇据/一世>的据一世>C据/一世>当前的据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>/据一世>R.。据/一世>,净电流据一世>出据/一世>的据一世>C据/一世>因此是据一世>一世据S.ub>C据/S.ub>=据一世>V.。据S.ub>N据/S.ub>(1 /据一世>R.。据/一世>+1/( -据一世>R.。据/一世>据S.ub>3.据/S.ub>/据一世>K.据/一世>)],表明这一点据一世>C据/一世>看到据一世>R.。据/一世>与…平行据一世>负性据/一世>的 -据一世>R.。据/一世>据S.ub>3.据/S.ub>/据一世>K.据/一世>的等效净电阻据一世>R.。据S.ub>eq.据/S.ub>=据一世>R.。据/一世>||( -据一世>R.。据/一世>据S.ub>3.据/S.ub>/据一世>K.据/一世>)]。扩展给出据/P.>据div align="center">
给定的组件值据一世>R.。据S.ub>eq.据/S.ub>= (10 kΩ)/(1 -据一世>K.据/一世>),所以极点的位置现在是据一世>S.据/一世>=1/(据一世>R.。据S.ub>eq.据/S.ub>C据/一世>)= - (1-据一世>K.据/一世>)/(1ms),则式(4)变为据/P.>据div align="center"> (7)据/div>
让我们讨论电路操作作为雨刷设置的函数,也使用的PSpice电路据B.>图6据/B.>来可视化接下来的自然反应类型。据/P.>据ul>
图7据/B.>描绘了作为一个函数的极点位置据一世>K.据/一世>.据/P.>据div align="center">
图7据/B.>的函数所描述的轨迹据一世>K.据/一世>.据P.>据/P.>据P.S.T.yle="margin-left: 0in; text-align: center;">
[继续阅读EDN US:据一种href="https://www.edn.com/electronics-blogs/analog-bytes/4460933/2/Playing-with-poles-and-zeros" target="blank" rel="noopener noreferrer">极对控制据/一种>]据/P.>据P.>据/P.>据P.>塞吉奥弗朗哥据/一种>是一个作者和(现在Emeritus)大学教授。据/em>
相关文章据/S.T.rong>:据/P.>据ul>