利用数学估计可能的测量误差
文章作者:Savitha Muthanna
下面是如何估计直接和间接测量的可能误差。
通常，在测试和测量行业中，测量是通过仪器进行的，而仪器往往会产生误差。由于许多不确定、不相关和随机的因素，很难估计测量量的真实值。
本文介绍了一种估计测量的可能误差的方法，特别是直接测量和间接测量的可能误差。直接测量是指通过指示所寻求的量的仪器所做的测量直接获得所寻求的量。间接测量是指测量不是直接进行的，而是从其他直接测量的量中计算出来的。
这类问题是全行业普遍存在的，经常被忽视。相反，通常假定显示的值没有随机错误，因此本文描述了一个可能存在真正值的值范围。下面的描述中提供了对各种可能的错误类型的简要描述。
测量中可能存在的误差
用仪器进行测量时，可能会出现几种误差。对误差来源的分析可以得出以下错误分类。
固定或系统错误
这些误差是由于仪器的构造或调整的不完善而造成的，它们同样影响所有的测量结果。它们是确定性的，可以通过适当的修正加以纠正。
错误
这些是由于测量仪器读数不小心或读数记录错误造成的大误差。这包括阅读错误的刻度，错误的记录等等。他们不遵守任何法律，可以通过警惕和仔细检查来避免。
偶然的错误
这些错误的原因是未知的和不确定的。他们很小，遵循混乱的规律。本文提出了一种方法来对抗偶然错误，这些错误通常是高斯的。
精密准确的测量
精确的测量是没有偶然误差的测量。精确的测量是没有任何误差的。
直接测量的可能误差
一个级数的单个测量的可能误差r，是一个这个级数的误差有一半大于它，一半小于它的量。对于直接测量，可使用公式计算可能的误差:
√(v12+ v22+⋅⋅⋅…vn2) / n - 1)
在哪里v1,v2,v3.和v1 n被定义为通过一组测量值的测量值与平均值之间的差值计算的残差。这个推导假设误差和残差都遵循正常规律。
均值的可能误差，r0，由
r0= 0.6745√(v12+ v22+⋅⋅⋅…vn2) / n (n - 1))
例如，考虑以下在示波器上进行的10次实际测量，测量通道1上的频率。
| 米3.= 8.0029 | v3.= 0.0051 | v3.2= 0.000026 |
| 米4= 8.0048 | v4= 0.0032 | v42= 0.00001024 |
| 米5= 8.0043 | v5= 0.0037 | v52= 0.00001369 |
| 米6= 8.0056 | v6= 0.0024 | v62= 0.00000576 |
| 米7= 8.0030 | v7= 0.0050 | v72= 0.000025 |
| 米8= 8.0029 | v8= 0.0051 | v82= 0.00002601 |
| 米9= 8.0076 | v9= 0.0004 | v92= 1.6 e - |
| 米10= 8.0083 | v10= -0.0003 | v102= 9 e-8 |
| ΣM = 80.0804 | Σv = -0.0004 |
Σv2= 0 |
| M = 80.0804/10= 8.0080 |
0.6745 r =√(0.00073195/9)= 0.6745 (0.00901819149) =0.00608277016√(v12+ v22+⋅⋅⋅…vn2) / n - 1))
r0=0.00608277016 /√10= 0.001924 by (r0= 0.6745√(v12+ v22+⋅⋅⋅…vn2) / n (n - 1)))
因此，频率M = 8.0080 GHz。真实值在8.009924 ~ 8.006076 GHz之间。
间接测量的可能误差
设Q是一个被测量为其他直接测量量的函数的量。
Q = f (Q1,问2,问3.……问n),问1,问2,问3.……问n是直接测量的量。
然后是间接测量的，可能误差1, r2r……n是个别直接测量量的相对误差，给出如下:
r=√((∂问/∂第一季度)2r12) +(∂问/∂第二季)2r22+.............+(∂问/∂qn)2rn2,
前提是∂问/∂第一季度,∂问/∂第二季,∂问/∂qn存在
我们还可以计算概率误差的相对误差，将整个方程除以Q得到，如下:
r /问=√((∂问/∂第一季度)2(r12/问2)) +(∂问/∂第二季)2r22/问2) +.............+(∂问/∂qn)2(rn2/问2)
下面，我们发现可能的误差在计算一个两级RC振荡器电路的电阻。
两级相移RC振荡器的频率计算公式如下:
f= 1/2πRC√(2 n
在那里,
Ƒ为输出频率，单位为赫兹，
R是电阻，单位是欧姆，
C是电容，单位是法拉，
N为RC阶段数(N = 2)
设R = 1 kΩ + 0.9 Ω，用数字万用表测量，其中0.9 Ω表示电阻器测量的可能误差。
设C = 1.0 nF + 0.01 pF，用电容计测量，其中0.01 pF表示电容测量中可能存在的误差。
因此,
f=1/ (2∗π2∗∗103.∗10−9) = 106/4∗π = 79.477 kHz
可能的错误,r，由上式可知:
r/f=√((∂f/∂R)2(r12/f2) +(∂f/∂C)2(右22/f2));∂f/∂R =−1/ (2∗π∗C∗∗√(2N)∗R2);∂f/∂C =−1/ (2∗π∗R∗∗√(2N)∗C2)
r1 = 0.9;r210 = 0.01∗−12
因此，我们发现:
r/f=√((0.9/103.)2+ (10−14/ 10−9)2) = 9.001∗10−4
r = 106/4∗π∗9.001∗10−4= 71.63
因此，频率和可能的误差为79.477±.07163 kHz。
编者按:作者感谢Tektronix Inc.对仪器和智能环境的使用。她还希望感谢Tektronix的Ramesh PE向她提出这个问题。
Savitha Muthanna就职于Keysight Technologies的研发部门。
本文最初发表于经济日报。
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