将二进制数转换为任何基础

文章作者:Mitja Rihtarsic

固件中经常需要将二进制数转换为十进制数。如果10的乘法和除法是可以接受的，那么做起来就很容易了。然而，这些操作，特别是分割，可能对低成本的微控制器(MCU)来说过于消耗资源。

因此，我很高兴了解了这一点<我>双倍拖走有效地将二进制转换为十进制的算法;它马上就进了我的魔术包。尽管如此，我还是想根据我的需要来调整它，以便与任何底座一起工作。要做到这一点，我需要知道它实际上是如何工作的。

双达贝布属于两组算法中的第二个（移位调整和调节班次）。两者都可用于将二进制数转换为其他格式。其中，转换为HMS的时间或角度格式是特别有用的。此外，最近已经有三元（基本-3）的设计和讨论了edn万博投注网址<一个href="https://www.edn.com/design-ideas/all" target="_blank" rel="noopener noreferrer">设计理念适用。

转换以二进制数开始:

一个= 2<我>^N1一个_N1+…+ 2<我>ⁿ一个_n+…+ 2<我>一个₁+<我>一个₀（1）

在哪里<我>一个是位。<我>N存储数字需要位<我>一个．的<我>一个是0或1.一个例子是11011011₂．

数字<我>一个由总和定义：

一个＝<我>B_米p_米+ ...... +<我>B_mp_m+ ...... +<我>B₁p₁+<我>p₀（2）

常数<我>B_m取决于数字系统。在十进制中，这些是基础常数的产品<我>b如下（3）所示。在定义（2）中，<我>p对应的是小数点。

b₀= 10<我>B₁＝<我>b₀= 10
b₁= 10<我>B₂＝<我>b₁B₁= 100
．..
b_m1= 10<我>B_m＝<我>b_m1B_m1= 10<我>^m（3）
．..

十进制系统不是唯一有趣的系统。例如，时间，在基地60.现在，<我>p₀，<我>p₁， 和<我>p₂分别是秒，分钟和几小时。

b₀= 60.<我>B₁＝<我>b₀= 60.
b₁= 60.<我>B₂＝<我>b₁B₁= 3600 (4)

除了在机械时钟的表盘上，时间是用阿拉伯数字显示的，以9结束，这个数字远小于59。既然没有必要那样做<我>b在（2）中等于，解决方案很简单。用阿拉伯数字写入时间，使用下一个数字系统（5）。地点<我>p₀和<我>p₁在十进制系统中的几秒钟，<我>p₂和<我>p_3.是几分钟，<我>p₄显示时间。

b₀= 10<我>B₁＝<我>b₀= 10
b₁= 6.<我>B₂＝<我>b₁B₁= 60.
b₂= 10<我>B_3.＝<我>b₂B₂= 600.
b_3.= 6.<我>B₄＝<我>b_3.B_3.= 3600 (5)

另一个系统的常数可以是<我>b₀= 12<我>b₁= 3;A是英寸长度，而<我>p₂，<我>p₁， 和<我>p₀分别是码、英尺和英寸。

在本文后面，我们将讨论一个三元系统。它有以下基本常数:

b₀= 3<我>B₁＝<我>b₀= 3
b₁= 3<我>B₂＝<我>b₁B₁= 9
．..
b_m1= 3<我>B_m＝<我>b_m1B_m1= 3<我>^m（6)
．..

当讨论数值系统时，那么地点<我>p_m是整数，限于间隔

0≤<我>p_m<<我>b_m（7)

p_m必须小于相应的基础常数<我>b_m．对于小数，<我>p_m是否为整数:0≤<我>p_m<10.但总和（2）

也适用于地方<我>p_m取超过间隔(7)的值!这甚至是不必要的<我>p'是整数，但我们应该保持正整数，因为，嗯，mcu。

让我们假设<我>一个是二进制数0xFF和基数常量<我>B_m属于十进制系统（3）。等式（2）即使在<我>p₀= 255，<我>p₁= 0，和<我>p₂= 0。这是一个极端。它也适用于<我>p₀= 25,<我>p₁= 13,<我>p₂= 1.但通常，值是<我>p₀= 5，<我>p₁= 5,<我>p₂= 2.即，0xFF = 255。

在碱基之间转换的代码或硬件中，<我>R_m为每个地方分配了存储器<我>p_m．通常,轻咬(<我>R_m= 4）或字节（<我>R_m= 8)被使用。2 .分配的内存足够大<我>^Rm≥b_m持有。仍然，分配的内存块应该有点较大，以便为位携带提供一些空间。因此，这个地方<我>p_m是一个限制在区间0≤的整数<我>p_m<2<我>^Rm．

额外的空间<我>p_m易于携带<我>p_m来<我>p_m+1．这一点携带了什么？它是在执行时执行的<我>p_m+1加1(位)和<我>p_m由基本常数递减<我>b_m．递减是可能的<我>p_m≥<我>b_m．我们有一个二进制数<我>一个= 0xDB和基本常量<我>b_m(3)，然后，让这些地方<我>p₂= 2,<我>p₁= 0，和<我>p₀= 19.我们可以看到等式（2）持有。我们还可以看到至少需要五个比特来存储<我>p₀．携带<我>p₀来<我>p₁，地方<我>p₁递增1和1<我>p₀是递减的<我>b₀= 10。的<我>p₀和<我>p₁调整。现在，这些地方<我>p₂= 2,<我>p₁= 1,<我>p₀= 9.即，0xDB = 219.在该位携带期间，等式（2）始终有效。

如前所述，钻头携带由两个步骤组成。一步，原地踏步<我>p_m+1递增。在另一个步骤中，基础常数<我>b_m减去从<我>p_m．这两个步骤可以合并为一个地方<我>p_m+1和<我>p_m进入一个数字2<我>^Rmp_m+1+<我>p_m．这个数字已经存在<我>p的值在单片机的存储器中依次分配。也就是说，两个连续的字节组成一个unsigned int。然后是进位常数2<我>^Rm- - - - - -<我>b_m加到这个新数字中。效果可以从(8)中看出，高字节加1，低字节减1<我>b_m．

p_m≥<我>b_m（2<我>^Rmp_m+1+<我>p_m）+（2<我>^Rm- - - - - -<我>b_m) = 2<我>^Rm（<我>p_m+1+ 1) + 1<我>p_m- - - - - -<我>b_m) (8)

调整场所的顺序<我>p_m在(2)中不起作用。任何一对位置<我>p₀，<我>p₁或者<我>p_米，<我>p_米1或者可以先调节任何其他对。这是因为在任何一点携带后都有等式（2）。尽管如此，可以从中执行调整是有益的<我>p₀向上。这样，没有<我>p_m需要调整两次。通过重复调整，个人的价值<我>p'的值会变小，直到条件(7)对所有值都有效<我>p_m．的地方<我>p_m被认为是调整过的。

二进制到其他系统的转换只能通过位进位来实现。初始二进制数<我>一个被搬进去了<我>p₀，这必须足够大。然后，重复比特携带，直到满足条件（7）<我>p在这一点上，数字<我>一个转换了。虽然这种方法有效，但它效率低下。为了加快转换，介绍了与乘以二乘以相同的左转换。然后，顺序地执行转换和比特携带。每次移位后执行该位携带以保持所需的大小<我>p它尽可能地小。同时，条件(7)得到满足。因为这个序列，这被称为移位-调整算法。

该算法是迭代运行的。在初始化迭代中<我>我= 0，全部<我>p被清除了。因此，等式（9）为零。当然，条件（7）持有全部<我>p_m， 也。

B_米p_米（<我>我= 0) +…+<我>B_mp_m（<我>我= 0) +…+<我>B₁p₁（<我>我= 0) +<我>p₀（<我>我= 0) = 0 (9)

现在，方程乘以2。同时，比特<我>一个_N1，这是MSB<我>一个在(1)中，加到<我>p₀．在汇编程序中，这是通过左旋转进行<我>一个和<我>p₀．其他内存块<我>p应该足够大，以便<我>p在移动过程中不能溢出。它们是单独移动的。

2（<我>B_米p_米（<我>我= 0) +…+<我>B_mp_m（<我>我= 0) +…+<我>B₁p₁（<我>我= 0) +<我>p₀（<我>我= 0））+<我>一个_N1＝<我>一个_N1(10）

换档后，（10），重复该位携带，直到满足（7）的条件<我>m．第一次轮班后不需要调整。但要坚持shift-adjust算法，调整<我>p每次班次后携带就会发生。完成第一次迭代后，（7）为所有人持有<我>m．获得等式（11），其是对第二迭代的输入。

B_米p_米（<我>我= 1）+ ... +<我>B_mp_m（<我>我= 1）+ ... +<我>B₁p₁（<我>我= 1）+<我>p₀（<我>我= 1）=<我>一个_N1(11）

现在，转移和调整再次发生。

B_米p_米（<我>我2) +名词+名词<我>B_mp_m（<我>我2) +名词+名词<我>B₁p₁（<我>我= 2）+<我>p₀（<我>我= 2）= 2<我>一个_N1+<我>一个_N2（12）

序列重复<我>N两度。

B_米p_米（<我>我＝<我>N) +…<我>B_mp_m（<我>我＝<我>N) +…<我>B₁p₁（<我>我＝<我>N）+<我>p₀（<我>我＝<我>N) = 2<我>^N1一个_N1+…+ 2<我>一个₁+<我>一个₀（13）

最后一位进位结束后，二进制数<我>一个位于（13）的右侧。在左手边，<我>一个被转换成所需数字系统的数字。这些数字存储在<我>p的年代。

[继续阅读EDN美国:<一个href="https://www.edn.com/design/systems-design/4460458/2/Convert-binary-number-to-any-base" target="blank" rel="noopener noreferrer">例子，三元，&代码］

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- - - - - -<一个href="https://www.edn.com/user/MiR1" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MitjaRihtaršič拥有硕士学位，一直从事无刷直流电机控制器和压缩空气设备电子产品的设计。