用一个运放构建灵敏度最佳的三阶低通滤波器

文章：克里斯托弗保罗

多年前，我发布了EDN上的文章和电子表格这使得2的设计成为可能^nd和3.^rd.订购Sallen-Key低通滤波器给出了其滤波器特性的极点。用户进入电容器的值和这些电阻，该电阻器设置过滤器采用的单个运算放大器的DC增益。在指定所有被动组件的公差并选择“E”系列电阻值（E-12，E-24，E-48，E-96或E-192），电子表格计算最接近的商业上可获得的值未指定的电阻。它还计算对所有被动组件的滤波器响应的大小的灵敏度的平方和的总和。它以用户指定的频率（建议在谐振的频率下这样做，其中灵敏度最高。）

对该过程的一个限制是它依赖于用户指定组件值的不同组合，以便在具有较低的敏感度的解决方案中搜索解决方案。这是乏味的，并且无法保证将找到最低的灵敏度解决方案。本文讨论了一种方法，并提供了一个可执行程序，可以解决这种情况。给定滤波器电容器和电容和电阻e系列值和范围限制，程序测试所有可能的组件组合，并识别最低（以及最高）聚合组件值敏感性的解决方案。

为什么要做三阶滤波器呢?
那么，为什么不呢？如果您可以添加额外的杆子的衰减，而无需添加运算放大器，为什么您至少要考虑这件事？但是有一个更好的原因 - 避免停车泄漏（请参阅上面引用的文章中的相同名称的部分。）简单地，随着运算放大器开环增益在二阶Sallen键部分中具有更高频率的频率，其输出阻抗升高。部分的输入信号电容耦合到运算放大器输出。结果是，较高的频率阻带抑制比预期更差。第三阶设计通过在输入和输出之间插入R-C部分（其电容为接地）来解决该问题。通过衰减到达连接到输出的滤波器电容的输入信号的部分，可以显着提高阻带抑制。因此，运算放大器的上升阻抗的效果可以忽略不计。

走到它
图1显示使用单个运算放大器实现的第三顺序低通符号键滤波器。

图1三阶单运放Sallen Key低通滤波器

在分析该过滤器时，我将采取略有不同的路径，从原文中追求的路径略有不同。该电路的传递函数由

三阶滤波器有三个极点:p1, p2和p3。一个必须是真实的，并且不丧失一般性，那将是p3。P1和p2可以是实数相同，实数不同，或者是复数。所有极点的实部是负的，如果p1和p2是复数，它们的虚部彼此是负的。

无论p1和p2的性质如何，我们都可以写出h（s）作为

开始确定满足这些方程的组分值组的一种方法是解决R1的[2]，并将其替换为[3]和[4]。我们可以将结果视为r2中的两个二阶方程：

这些是标准二次方程。每个都可以为R2产生两种溶液。滤波器设计要求至少一个解决方案到[9]等于至少一个解决方案到[10]。但是这些方程中R2以外的六个参数提供了过多的满足该要求的选项。可能诱使我们的一种方法是首先将方程式标准化，使R2的系数²每个术语都设置为1，然后将R2的系数等同起来^0.和R2¹条款。这将导致两对相同的解决方案。不幸的是，这会过度约束问题并限制搜索最佳结果。我们不需要两个相同的解决方案集;我们只需要两个方程式常见的一个解决方案。正常化方法是不希望的特别令人沮丧的是，通过导致代数易诊的结果显着简化了问题 - 可悲的是非最佳的。必须采取不同方法来正确限制问题，以便可管理。

所选成功的策略首先利用所考虑的分量值对商业上可用的。IEC 63（演变为IEC 60063）使用称为E系列的东西定义这些值。E-X系列规定了10个组件值脚本^{I / X.}，其中i是从1到x的整数，x可以是3,6,12,24,48,96或192.这些尾数舍入为x≥48的三位数，否则两位数。（因为在IEC标准之前建立了两位数系列中的值，但并非所有这些都是完全遵循此数学规则。）通过十个的权力乘以这些Mantissas产生可用的组件值。我们的策略继续通过设置要考虑的电容器和电阻的最小值和最大值来继续。范围限制具有超越减少组件组合的数量的实用价值。我们很少有人想设计具有1个PF电容器或100兆瓦电阻的过滤器！

利用这些组件值限制，计算机程序可以迭代所有组合以评估等式[9]和[10]中的每一个的两个解决方案。可以检查等式[9]和等式[10]解决方案之间的四组差异以进行连续迭代之间的符号的变化。这样的符号改变表明[9]和[10]的解决方案几乎是相等的。从迭代的分量值产生R2值的较小差异作为考虑的解决方案。

这种方法可以产生多种解决方案。我们如何在其中选择最好的选择？答案是评估滤波器的幅度响应对它们精确的电子系列规范的组件（分量公差）值的变化的敏感性。评估点的明显选择是谐振频率，至少当极点P1和P2是复杂的时，因为这是这种情况下最大响应变化的频率。无论如何，可以选择任何评估频率。

灵敏度
滤波器在频率ω处的幅值响应对分量y值变化的灵敏度为

计算此滤波器的此功能的衍生物是艰巨的。可接受的替代方案是利用衍生物的定义并计算差异，而是通过其值的非常小的分数ε从而扰动y，即，通过delta = 1 +ε将其乘以：

我们可以通过计算对每个单独组分的每个组分的平方和的平方根来衡量对所有组件的变化的敏感性。但如果我们要选择具有最小敏感性的解决方案，我们必须考虑每个组件的相对容差。这样做的一种方法是将每个敏感性乘以其关联组件的容差的估值百分比。所以，我们对所有的所有组件都具有总敏感性_一世：

通过这种优点的数字，可以选择具有最佳（最不限）对组件变体的敏感性的解决方案。供参考，该程序还具有最大敏感性的解决方案。LTSPICE可以在设计上运行Monte Carlo以进行比较。万博投注网址

[继续阅读EDN US:该程序]

克里斯托弗·保罗在通信行业的各种工程职位上工作了40多年。

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